Cálculo infinitesimal

Newton empezó a desarrollar su cálculo diferencial hacia el 1665, dio un enfoque geométrico y analítico a las derivadas. Su principal aplicación era para calcular tangentes, curvaturas y áreas. Para Newton un fluente  x era la cantidad de movimiento continuo de un punto que traza una curva y una fluxión x su velocidad. El problema se basa en hallar la relación entre las fluxiones (valores) dadas una relación de fluentes. Se trataba de un conjunto de reglas para poder calcular máximos, mínimos y tangentes.

Leibniz introdujo varias notaciones usadas en la actualidad, tal como, por ejemplo, el signo “integral“ ∫, que representa una S alargada, derivado del latín “summa“, y la letra “d” para referirse a los “diferenciales”, del latín “differentia”. Esta ingeniosa y sugerente notación para el cálculo es probablemente su legado matemático más perdurable.
Su principal contribución fue el proveer un conjunto de reglas claras para la manipulación de cantidades infinitesimales, permitiendo el cómputo de derivadas de segundo orden y de orden superior, y estableciendo la regla del producto y regla de la cadena en su forma diferencial e integral. A diferencia de Newton, Leibniz le puso mucha atención al formalismo y a menudo le dedicaba varios días a determinar los símbolos apropiados para los conceptos.
 

La integral para Newton es una integral definida, es el fluente a determinar para una fluxión dada. Para Leibniz la integral es, en cambio, una suma infinita de diferenciales.A pesar de estas diferencias de concepto luego ambos la calculan de la misma forma, como un proceso inverso de derivadas. Ambos desarrollan el mismo cálculo desde puntos de vista distintos y observan como inversos los procesos de diferenciación e integración. Antes se habían calculado áreas, volúmes y tangentes, pero eran razonamientos particulares para cada caso concreto sin que se observara con claridad que el cálculo de áreas y el de tangentes son inversos uno del otro. El nuevo cálculo es universal, en el sentido en que se aplica del mismo modo a todo tipo de funciones.