Ejemplo

Lim             (3x + 1)2 (x – 1)x
x → +∞       x3 – (x + 3)3

Lim             9x4 – 3x3 – 5x2 – x
x → +∞       x3 – (x3 + 9x2 + 27x + 27)

Lim            9x4 – 3x3 – 5x2 – x = -∞
x → +∞     –9x2 – 27x – 27     

Video del cálculo infinitesimal

 

 

Cálculo infinitesimal

Newton empezó a desarrollar su cálculo diferencial hacia el 1665, dio un enfoque geométrico y analítico a las derivadas. Su principal aplicación era para calcular tangentes, curvaturas y áreas. Para Newton un fluente  x era la cantidad de movimiento continuo de un punto que traza una curva y una fluxión x su velocidad. El problema se basa en hallar la relación entre las fluxiones (valores) dadas una relación de fluentes. Se trataba de un conjunto de reglas para poder calcular máximos, mínimos y tangentes.

Leibniz introdujo varias notaciones usadas en la actualidad, tal como, por ejemplo, el signo “integral“ ∫, que representa una S alargada, derivado del latín “summa“, y la letra “d” para referirse a los “diferenciales”, del latín “differentia”. Esta ingeniosa y sugerente notación para el cálculo es probablemente su legado matemático más perdurable.
Su principal contribución fue el proveer un conjunto de reglas claras para la manipulación de cantidades infinitesimales, permitiendo el cómputo de derivadas de segundo orden y de orden superior, y estableciendo la regla del producto y regla de la cadena en su forma diferencial e integral. A diferencia de Newton, Leibniz le puso mucha atención al formalismo y a menudo le dedicaba varios días a determinar los símbolos apropiados para los conceptos.
 

La integral para Newton es una integral definida, es el fluente a determinar para una fluxión dada. Para Leibniz la integral es, en cambio, una suma infinita de diferenciales.A pesar de estas diferencias de concepto luego ambos la calculan de la misma forma, como un proceso inverso de derivadas. Ambos desarrollan el mismo cálculo desde puntos de vista distintos y observan como inversos los procesos de diferenciación e integración. Antes se habían calculado áreas, volúmes y tangentes, pero eran razonamientos particulares para cada caso concreto sin que se observara con claridad que el cálculo de áreas y el de tangentes son inversos uno del otro. El nuevo cálculo es universal, en el sentido en que se aplica del mismo modo a todo tipo de funciones.

Las matematicas de Newton

Desde finales de 1664 trabajó intensamente en diferentes problemas matemáticos. Abordó entonces el teorema del binomio, a partir de los trabajos de John Wallis, y desarrolló un método propio denominado cálculo de fluxiones. Poco después regresó a la granja familiar a causa de una epidemia de peste bubónica.
Retirado con su familia durante los años 1665-1666, conoció un período muy intenso de descubrimientos, entre los que destaca la ley del inverso del cuadrado de la gravitación, su desarrollo de las bases de la mecánica clásica, la formalización del método de fluxiones y la generalización del teorema del binomio, poniendo además de manifiesto la naturaleza física de los colores. Sin embargo, guardaría silencio durante mucho tiempo sobre sus descubrimientos ante el temor a las críticas y el robo de sus ideas. En 1667 reanudó sus estudios en Cambridge.

Newton

Lincolnshire, 1642 - Londres, 1727) Su madre preparó para él un destino de granjero; pero finalmente se convenció del talento del muchacho y le envió a la Universidad de Cambridge, en donde hubo de trabajar para pagarse los estudios. Allí Newton no destacó especialmente, pero asimiló los conocimientos y principios científicos de mediados del siglo XVII, con las innovaciones introducidas por Galileo, Bacon, Descartes, Kepler y otros. Tras su graduación en 1665, Isaac Newton se orientó hacia la investigación en Física y Matemáticas, con tal acierto que a los 29 años ya había formulado teorías que señalarían el camino de la ciencia moderna hasta el siglo XX; por entonces ya había obtenido una cátedra en su universidad (1669). Newton coincidió con Leibniz en el descubrimiento del cálculo integral, que contribuiría a una profunda renovación de las Matemáticas; también formuló el teorema del binomio (binomio de Newton). Pero sus aportaciones esenciales se produjeron en el terreno de la Física.

Sus primeras investigaciones giraron en torno a la óptica: explicando la composición de la luz blanca como mezcla de los colores del arco iris, Isaac Newton formuló una teoría sobre la naturaleza corpuscular de la luz y diseñó en 1668 el primer telescopio de reflector, del tipo de los que se usan actualmente en la mayoría de los observatorios astronómicos; más tarde recogió su visión de esta materia en la obra Óptica (1703). También trabajó en otras áreas, como la termodinámica y la acústica; pero su lugar en la historia de la ciencia se lo debe sobre todo a su refundación de la mecánica.